Osmo Action 3にスリープモードはありますか？

はい。
Osmo Action 3が電源オンの状態で、クイックスイッチボタンを長押しすると、スリープモードに入ります。クイックスイッチボタンを1回押すと、スリープ解除して、画面オンになります。シャッター／録画ボタンを押すと、スナップショットを有効にします。